\(\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=5+2\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y\right)=3+2\left(x+y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(xy+x+y-2\right)=3\)

Từ đây bạn xét các trường hợp và giải ra nghiệm. 

\(pt\Leftrightarrow\frac{\sqrt{y-4}}{y}+\frac{\sqrt{x-4}}{x}=\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\frac{\sqrt{y-4}}{y}=\frac{\sqrt{4\left(y-4\right)}}{2y}\le\frac{4+y-4}{2\cdot2y}=\frac{1}{4}\)

Tương tự ta cũng có \(\frac{\sqrt{x-4}}{x}\le\frac{1}{4}\)

Cộng theo vế ta có Đpcm

Dấu "=" xảy ra khi x=y, thay vào giải ra ta dc x=y=8

\(\left(x^2-x+1\right)\left(xy+y^2\right)=3x-1\left(1\right)\)

\(3x-1⋮x^2-x+1\)

zì \(lim\left(x\rightarrow\infty\right)\frac{3x-1}{x^2-x+1}=0\)

zà thấy x=2 thỏa mãn ,=> x=1

thay zô 1 ta có

\(1\left(y+y^2\right)=2=>y^2+y-2=0=>\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-2\end{cases}}\)

zậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1,1\right)\left(1,-2\right)\right\}\)

Khai triển: \(\left(x+y\right)^2+\left(xy-1\right)\left(x+y\right)+\left(xy-5\right)=0\).

Ta coi như là một phương trình bậc hai ẩn \(x+y\).

\(\Delta=\left(xy-1\right)^2-4\left(xy-5\right)=\left(xy-3\right)^2+12\)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) chính phương, cộng với \(\left(xy-3\right)^2\) đã là một số chính phương.

Nghĩa là ta cần tìm 2 số chính phương hơn kém nhau 12 đơn vị. Đó là số 4 và 16.

Tức là \(\left(xy-3\right)^2=4\) (số chính phương nhỏ hơn)

Hay \(xy=5\) hoặc \(xy=1\).

Thử lại thì \(x=y=1\) hoặc \(x=y=-1\)